Ejercicios y discusión de la inversa de la transformación de Laplace - 1

Busca \( h(t) \) de \( H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} \)

Discusión:

Es necesario realizar la transformación inversa de Laplace. A continuación, se presentan los pasos que se pueden seguir para obtener \( h(t) \) de la función de transferencia \( H(s) \):

Paso 1: Factoriza el denominador de \( H(s) \)

\[ H(s) = \frac{s^2}{s^3 + 4s^2 + 4s} = \frac{s^2}{s(s^2 + 4s + 4)} = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} \]

Paso 2: Convierte la fracción en fracciones parciales más simples para que sea más fácil determinar su inversa

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{A}{s} + \frac{B}{s + 2} + \frac{C}{(s + 2)^2} \]

\[ s^2 = A(s + 2)^2 + Bs(s + 2) + Cs \]

\[ s^2 = A s^2 + 4A s + 4A + B s^2 + 2B s + C s \]

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Paso 3: Determinación de coeficientes

\[ s^2 = (A + B) s^2 + (4A + 2B + C) s + 4A \]

Comparando los coeficientes, obtenemos:

• \(1 = A + B\)
• \(0 = 4A + 2B + C\)
• \(0 = 4A \Rightarrow A = 0\)

De \(1 = A + B\), obtenemos \(1 = 0 + B \Rightarrow B = 1\)

De \(0 = 4A + 2B + C\), obtenemos \(0 = 0 + 2 \cdot 1 + C \Rightarrow 0 = 2 + C \Rightarrow C = -2\)

Paso 4: Fracción parcial

Sustitución \(A = 0\), \(B = 1\), y \(C = -2\) en \( H(s) \):

\[ H(s) = \frac{s^2}{s(s + 2)^2} = \frac{0}{s} + \frac{1}{s + 2} + \frac{-2}{(s + 2)^2} \]

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

Paso 5: Inversa de la Transformada de Laplace

\[ H(s) = \frac{1}{s + 2} - \frac{2}{(s + 2)^2} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)} \right\} = e^{-2t} \]

\[ \mathcal{L}^{-1} \left\{ \frac{1}{(s+2)^2} \right\} = t e^{-2t} \]

Entonces:

\[ h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \]

\( Gráfico: h(t) = e^{-2t} - 2t e^{-2t} \)

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