Ejercicios y discusión de la inversa de la transformación de Laplace - 1

Busca $h(t)$ de $H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}$

Discusión:

Es necesario realizar la transformación inversa de Laplace. A continuación, se presentan los pasos que se pueden seguir para obtener $h(t)$ de la función de transferencia $H(s)$:

Paso 1: Factoriza el denominador de $H(s)$

$$H(s)=\frac{s^2}{s^3+4s^2+4s}=\frac{s^2}{s(s^2+4s+4)}=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}$$

Paso 2: Convierte la fracción en fracciones parciales más simples para que sea más fácil determinar su inversa

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{(s+2{)}^2}$$

$$s^2=A(s+2{)}^2+Bs(s+2)+Cs$$

$$s^2=A{s}^2+4As+4A+B{s}^2+2Bs+Cs$$

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Paso 3: Determinación de coeficientes

$$s^2=(A+B)s^2+(4A+2B+C)s+4A$$

Comparando los coeficientes, obtenemos:

• $1=A+B$
• $0=4A+2B+C$
• $0=4A\Rightarrow A=0$

De $1=A+B$, obtenemos $1=0+B\Rightarrow B=1$

De $0=4A+2B+C$, obtenemos $0=0+2\cdot 1+C\Rightarrow 0=2+C\Rightarrow C=-2$

Paso 4: Fracción parcial

Sustitución $A=0$, $B=1$, y $C=-2$ en $H(s)$:

$$H(s)=\frac{s^2}{s(s+2{)}^2}=\frac{0}{s}+\frac{1}{s+2}+\frac{-2}{(s+2{)}^2}$$

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

Paso 5: Inversa de la Transformada de Laplace

$$H(s)=\frac{1}{s+2}-\frac{2}{(s+2{)}^2}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2)}\right\}=e^{-2t}$$

$${\mathcal{L}}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+2{)}^2}\right\}=t{e}^{-2t}$$

Entonces:

$$h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$$

$Gráfico:h(t)=e^{-2t}-2t{e}^{-2t}$

 [11720240602b/b]